[题目]如图.在ABCD中.点P是AB边上一点不与A.B重合..过点作.交AD边于点Q.连结CQ．若.求证:四边形ABCD是矩形,在的条件下.当.时.求AQ的长．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在ABCD中，点P是AB边上一点不与A，B重合，，过点作，交AD边于点Q，连结CQ．

若，求证：四边形ABCD是矩形；

在的条件下，当，时，求AQ的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）AQ的长为.

【解析】

（1）根据，求出∠A=90°即可；

（2）由HL证明RT△DCQ≌RT△PCQ，得出DQ=PQ，再根据勾股定理即可算出AQ的值.

（1）证明：∵

∴∠BPC+∠APQ=90°

又∵

∴∠APQ+∠AQP=90°

∴∠A=90°

又ABCD为平行四边形

∴ABCD为矩形.

（2）设AQ=x，则DQ=6-x

在RT△DCQ和RT△PCQ中

∴RT△DCQ≌RT△PCQ

∴DQ=PQ=6-x

在RT△APQ中，

∴

解得：

∴AQ的长为.

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