Question

15．如图，△ABD、△ADE、△AEC都是顶角为30°的等腰三角形，∠AEF=15°，AF=1，则BD=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作FG⊥AE于G，作DH⊥EF于H，则∠DHE=∠DHF=∠AGF=∠EGF=90°，由已知条件得出BD=DE，AD=AE，∠AED=75°，GF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，再证出∠EDH=30°，△DHF是等腰直角三角形，得出DE=2EH，DH=$\sqrt{3}$EH，FH=DH，设EH=x，则BD=DE=2x，FH=DH=$\sqrt{3}$x，得出DF=$\sqrt{2}$DH=$\sqrt{6}$x，EF=$\sqrt{3}$x+x，AE=AD=$\sqrt{6}$x+1，在Rt△EFG中，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出BD．

解答 解：作FG⊥AE于G，作DH⊥EF于H，如图所示：
则∠DHE=∠DHF=∠AGF=∠EGF=90°，
∵△ABD、△ADE、△AEC都是顶角为30°的等腰三角形，
∴BD=DE，AD=AE，∠AED=75°，GF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，
∴AG=$\sqrt{3}$GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠AEF=15°，
∴∠DEF=75°-15°=60°，∠DFE=30°+15°=45°，
∴∠EDH=30°，△DHF是等腰直角三角形，
∴DE=2EH，DH=$\sqrt{3}$EH，FH=DH，
设EH=x，则BD=DE=2x，FH=DH=$\sqrt{3}$x，
∴DF=$\sqrt{2}$DH=$\sqrt{6}$x，EF=$\sqrt{3}$x+x，AE=AD=$\sqrt{6}$x+1，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得：GF²+GE²=EF²，
即（$\frac{1}{2}$）²+（$\sqrt{6}$x+1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=（$\sqrt{3}$x+x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线运用三角函数和勾股定理得出方程才能得出结果．