Question

13．已知，BC∥OA，∠B=∠A=108°，试解答下列问题：
（1）如图1所示，则∠O=72°，并判断OB与AC平行吗？为什么？
（2）如图2，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于40°；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC，如图3．
①求∠OCB：∠OFB的值；
②当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数（直接写出答案，不必写出解答过程）．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行线的性质可得∠B+∠O=180°，再根据∠A=∠B可得∠A+∠O=180°，进而得到OB∥AC；
（2）根据角平分线的性质可得∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠FOA，进而得到∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=40°；
（3）①由BC∥OA可得∠FCO=∠COA，进而得到∠FOC=∠FCO，故∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，进而得到∠OCB：∠OFB=1：2；
②由（1）知：OB∥AC，BC∥OA，得到∠OCA=∠BOC，∠OEB=∠EOA，根据（1）、（2）的结果求得．

解答 解：（1）∠O=72°，
∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠A=∠B
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠A=∠B=108°，由（1）得∠BOA=180°-∠B=72°，
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠FOA，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=36°；

（3）①∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；
②由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由（1）知：BC∥OA，
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°，
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．

点评 此题主要考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．