Question

20．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=5，BF=8，AD=$\frac{15}{2}$，则?ABCD的面积是36．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，从而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；
（2）过A作AH⊥BE，根据菱形的性质可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后可得?ABCD的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：过A作AH⊥BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，
∵BF=8，
∴BO=4，
∴AO=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AE=6，
∴S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴BE•AH=24，
∴AH=$\frac{24}{5}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=$\frac{15}{2}$，
∴S_{平行四边形ABCD}=$\frac{15}{2}$×$\frac{24}{5}$=36，
故答案为：36．

点评 此题主要考查了菱形的性质和判定，以及平行四边形的性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的面积为对角线之积的一半．