Question

已知关于x的一元二次方程x²+k（x-1）-1=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂）？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）方程x²+k（x-1）-1=0可化为x²+kx-k-1=0，
由于△=k²+4k+4=（k+2）²≥0，
所以方程有两个实数根．

（2）假设存在正数k，满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂），
由于x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴把x=x₁代入得：x₁²+kx₁-k-1=0，
∴x₁²+kx₁=k+1，x₁+x₂=-k，x₁x₂=-k-1，
即k+1+2（-k-1）=7+3k，
解得k=-2，这与题设k＞0相矛盾．
∴满足条件的正数k不存在．
分析：（1）求证无论k取何值，这个方程总有两个实数根，即是证明方程的判别式△≥0即可；
（2）本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，两根之和等于-，两根之积等于．
x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂），即可用k的式子进行表示，求得k的值，然后判断是否满足实际意义即可．
点评：本题在求解的过程中应用了反证法，先假设成立，然后推出矛盾，证明假设的不成立．