Question

【观察发现】
如图1，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满足DF=AE．直线BE、AF相交于点G，猜想线段BE与AF 的数量关系，以及直线BE与直线AF 的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）
【类比探究】
如图2，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．
【深入探究】
若在上述的图1与图2中正方形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化．在变化过程中，线段DG的长是否存在最大值或最小值，若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由．（要求：分别就图1、图2直接写出结论，再选择其中一个图形说明理由）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质就可以得出AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，进而得出△ABE≌△DAF就可以得出结论；
（2）根据正方形的性质就可以得出AB=AD，∠BAE=ADF=90°，进而得出△ABE≌△DAF就可以得出结论；
（3）图3中线段DG存在最小值为2

5

-2，不存在最大值，图4中线段DG存在最大值为2

5

+2，不存在最小值，分别有指教三角形的性质和两点之间的距离的性质就可以求出结论．

解答：解：【观察发现】BE=AF，BE⊥AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°．
在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF．
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠DAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE．
【类比探究】【观察发现】中的结论仍成立，即BE=AF，BE⊥AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°．
在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF．
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠DAF=90°．
∵∠DAF=∠GAE，
∴∠E+∠GAE=90°
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE；
【深入探究】
图3中线段DG存在最小值为2

5

-2，不存在最大值，
图4中线段DG存在最大值为2

5

+2，不存在最小值．
理由：如图3，取AB的中点H，连接HD、HG
∴HG=

1

2

AB=2，
在Rt△ADH中，有勾股定理，得
DH=2

5

当H、G、D三点不共线时，DG＞DH-HG，
当H、G、D三点共线时，DG=DH-HG，
∴线段DG存在最小值为2

5

-2．
∵E不与A重合，
∴线段DG不存在最大值；
如图4，取AB的中点H，连接HD、HG．
∴HG=

1

2

AB=2，
在Rt△ADH中，有勾股定理，得
DH=2

5

当H、G、D三点不共线时，DG＜DH+HG，
当H、G、D三点共线时，DG=DH+HG，
∴线段DG存在最大值为2

5

+2
∵E不与A重合，
∴线段DG不存在最小值．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，最短距离的运用，解答时证明三角形全等是关键．