Question

19．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，照此规律作下去，则点B₂₀₁₅的坐标为（　　）

• A． （2¹⁰⁰⁸，0）
• B． （2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁷）
• C． （2¹⁰⁰⁹，2¹⁰⁰⁹）
• D． （-2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）

Answer 1

分析 首先求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B₂₀₁₅的坐标．

解答 解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∵正方形OBB₁C₁是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB₁=2，
∴B₁点坐标为（0，2），
同理可知OB₂=2$\sqrt{2}$，B₂点坐标为（-2，2），
同理可知OB₃=4，B₃点坐标为（-4，0），
B₄点坐标为（-4，-4），B₅点坐标为（0，-8），
B₆（8，-8），B₇（16，0），
B₈（16，16），B₉（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍，
∵2015÷8=251…7，
∴B₂₀₁₅的纵横坐标符号与点B₇的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，
∴B₂₀₁₄的坐标为（2¹⁰⁰⁸，0）．
故选：A．

点评 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍，此题难度较大．