Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A₁B₁C．
（1）如图1，若连接AA₁，BB₁，则的值为______；
（2）如图2，连接AB₁、BA₁，判断S_△ACB1与S的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图3，设AB的中点为O，A₁B₁的中点为P，当θ=______时，OP⊥A₁C．

Answer 1

解：（1）根据旋转的定义，旋转角∠ACA₁=∠BCB₁，
∵Rt△A₁B₁C是Rt△ABC绕顶点C旋转得到，
∴AC=A₁C，BC=B₁C，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴=，
∵cot30°==，
∴=；

（2）S_△ACB1=S_△A1CB．
理由如下：如图2，作AM⊥B₁C于点M，作A₁N⊥CB于N，
则∠ACA₁+∠A₁CB=90°，
∠ACA₁+∠ACM=90°，
∴∠A₁CB=∠ACM，
在△ACM和△A₁CN中，
，
∴△ACM≌△A₁CN（AAS），
∴AM=A₁N，
又∵CB₁=CB，
∴S_△ACB1=S_△A1CB；

（3）如图3，连接CO、PO，
∵AB的中点为O，A₁B₁的中点为P，
∴CO=PO=AO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵OP⊥A₁C，
∴∠A₁CP=∠A₁CO=∠A=60°（等腰三角形三线合一），
∴∠ACA₁=∠ACO+∠A₁CO=60°+60°=120°，
即当θ=120°时，OP⊥A₁C．
故答案为：（1）；（3）120°．
分析：（1）根据旋转角可得∠ACA₁=∠BCB₁，根据旋转的性质可得，AC=A₁C，BC=B₁C，然后证明△ACA₁和△BCB₁相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据30°角的余切值解答即可；
（2）作AM⊥B₁C于点M，作A₁N⊥CB于N，根据同角的余角相等求出∠A₁CB=∠ACM，然后利用“角角边”证明△ACM和△A₁CN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=A₁N，然后根据等底等高的三角形的面积相等证明即可；
（3）连接CO、PO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CO=PO=AO，然后求出∠A=60°，从而得到△ACO是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACO=60°，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A₁CP=∠A₁CO，然后求出∠ACA₁=120°，从而得解．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，综合性较强，但难度不是很大．