【题目】已知,如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为AB上一点(不与A.B两点重合),过点O,A,E的⊙I交AD于F,AB=5
(1)求⊙I的直径的取值范围;
(2)若⊙I的半径为2,求AE的长.
【答案】(1)⊙I的直径<5;(2).
【解析】
(1)当OE⊥AB时,⊙I的直径值最小,当OB⊥AO时,⊙I的直径值最大;
(2)分两种情况讨论,当点E和点I在AO同侧,过点I作IF⊥AO,过点O作OH⊥AB,解直角三角形求AH和HE即可.
当点E和点I在AO异侧,过点I作IF⊥AO,过点O作OH⊥AB, 解直角三角形求AH和HE即可.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=5,AC=BD,AO=CO=BO=DO,AC⊥BD,∠BAC=45°,
∴AC=BD=5,AO=BO
当OE⊥AB时,⊙I的直径的最小值为
当点B与点E重合,即OE⊥OA时,⊙I的直径的最小值为5
∴⊙I的直径<5
(2)当点E和点I在AO同侧,如图,过点I作IF⊥AO,过点O作OH⊥AB
∵OH⊥AB,∠BAO=45°
∴AH=HO
∵IF⊥AO
∴AF=FOAO,∠AIO=2∠AIF
∴IF
∵∠AIO=2∠AEO
∴∠AEO=∠AIF
∴tan∠AEO=tan∠AIF
∴
∴HE
∴AE=AH+HE
当点E和点I在AO异侧,如图,过点I作IF⊥AO,过点O作OH⊥AB
同理可求AH,HE
∴AE
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【题目】在如图所示的方格中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(﹣2,﹣1),B(﹣1,﹣3),△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2,使它与△OAB的相似比为2:1,并写出点B的对应点B2的坐标.
(3)△OA2B2的面积是 .
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【题目】已知函数y=﹣(x+1)2﹣2
(1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标为
(2)当x 时,y随x的增大而增大
(3)怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣(x+1)2﹣2
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【题目】已知二次函数y=x2﹣6mx+9m2+n(m,n为常数)
(1)若n=﹣4,这个函数图象与x轴交于A,B两点(点A,B分别在x轴的正、负半轴),与y轴交于点C,试求△ABC面积的最大值;
(2)若n=4m+4,当x轴上的动点Q到抛物线的顶点P的距离最小值为4时,求点Q的坐标.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0,b,c为常数)的图象如图所示,下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④3b>2c;⑤a+b>m(am+b)(m为常数,且m≠1),其中正确的结论有_____.
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【题目】如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点、、.
(1)请完成如下操作:①以点为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心,并连接、.
(2)请在(1)的基础上,完成下列填空:
①写出圆心点的坐标:( , );
②的半径= (结果保留根号);
③若扇形是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面的面积为 ;(结果保留)
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【题目】有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的立杆上点T处汇合.如图所示为截面图,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式
(2)正在喷水时,身高1.8米的人,应站在离水池中心多远的地方就能不被淋湿?
(3)在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心的立杆上点T处汇合,请探究扩建后喷水池水柱的最大高度
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【题目】(1)如图 1,已知正方形 ABCD,点 E 在 BC 上,点 F 在 DC 上,且∠EAF=45°,则有 BE+DF= .若 AB=4,则△CEF 的周长为 .
(2)如图 2,四边形 ABCD 中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且∠EAF=45°,试判断 BE,EF,DF 之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点.
(1)不等式b+2c+8≥0是否成立?请说明理由;
(2)设S是△AMO的面积,求满足S=9的所有点M的坐标.
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