Question

【题目】已知抛物线 和直线l：．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设A、B是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，已知无论a为何值，点P在一条定抛物线上，试求这条定抛物线的解析式；
（3）设A、B是抛物线与直线的两个交点，将直线l向下平移7个单位恰好与抛物线有且只有一个公共点C，求△ABC的面积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y=4x2+5；（3）．

【解析】

（1）由2x2=ax+5得2x2-ax-5=0，根据△=（-a）2-4×2×（-5）=a2+40＞0即可得证；
（2）设点A（x1，ax1+5）、B（x2，ax2+5），由x1、x2为方程2x2-ax-5=0的两实数根知x1+x2=，根据点P为线段AB的中点知P（），即可得点P的坐标为（+5），由4×（+5知点P在抛物线y=4x2+5上；
（3）由平移后的直线y=ax-2与抛物线只有一个交点知ax-2=2x2有唯一解，据此求得a的值，即可得出点A、B、C的坐标，利用割补法求解可得答案．

（1）由2x2=ax+5得2x2-ax-5=0，
∵△=（-a）2-4×2×（-5）=a2+40＞0，
∴抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设点A（x1，ax1+5）、B（x2，ax2+5），
则x1、x2为方程2x2-ax-5=0的两实数根，
∴x1+x2=，
∵点P为线段AB的中点，
∴点P（），即（），
∴点P的坐标为（+5），
∵4×（+5，
∴点P在抛物线y=4x2+5上；
（3）直线l：y=ax+5向下平移7个单位后的直线为y=ax-2，
根据题意知，ax-2=2x2，即2x2-ax+2=0有唯一解，
则（-a）2-4×2×2=0，
解得：a=4或a=-4，
当a=4时，方程为2x2-4x+2=0，解得x=1，
则点C坐标为（1，2），
此时直线l的解析式为y=4x+5，
由得 或 ，
即点A（1- ）、B（1+ ），
如图1，

S△ABC=S梯形AFGB-S△ACF-S△BCG=；
当a=-4时，方程为2x2+4x+2=0，解得x=-1，
则点C坐标为（-1，2），
此时直线l的解析式为y=-4x+5，
由 得 或 ，
即点A（-1-），
如图2，

S△ABC=S梯形AFGB-S△ACF-S△BCG= ；
综上，△ABC的面积为．