Question

如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①B、E、D、C四点共圆；②AD•AC=AE•AB；③△DEF是等边三角形；④当∠ABC=45°时，BE=DE中，一定正确的有（ ）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=BF=FC，从而可得B、E、D、C四点共圆；再根据割线定理即可证明AD•AC=AE•AB；先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD=30°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠EFD=60°，从而得到△DEF是等边三角形；先判定△BCE是等腰直角三角形，然后求出BE=BC，再根据等边三角形的三边相等整理即可得到BE=DE．
解答：解：∵BD、CE为高，F为BC的中点，
∴EF=DF=BF=FC，
∴B、E、D、C四点共圆，故①小题正确；
∴AD•AC=AE•AB（割线定理），故②小题正确；
∵∠BAC=60°，BD为高，
∴∠ABD=30°，
∴∠EFD=2∠ABD=60°，
∴△EFD是等边三角形，故③小题正确；
当∠ABC=45°时，∵CE为高，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC，
又∵DE=EF=BC，
∴BE=DE，故④小题正确；
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆周角定理，难度不大，求出EF=DF=BF=FC是解题的关键，也是求解本题的突破口．