Question

【题目】如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F

（1）求证：AF＝DE；

（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；

（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．

【解析】

（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．

（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．

（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．

（1）证明：如图1中，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，

∴∠2+∠3＝90°

又∵BF⊥AE，

∴∠AGB＝90°

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3

在△BAF与△ADE中，

∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，

∴△BAF≌△ADE（ASA）

∴AF＝DE．

（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．

由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD

∴△BAG≌△ADN（AAS）

∴AG＝DN，

又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，

∴DM＝DN，

∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF

∴△AFG≌△DFM（AAS），

∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD，

即点E是CD的中点．

（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，

∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，

∴△ADE≌△PCE（ASA）

∴AE＝PE，

又CE∥AB，

∴BC＝PC，

在Rt△BGP中，∵BC＝PC，

∴CG＝BP＝BC，

∴CG＝CD．