Question

12．如图，△ABC和△EFC都是等边三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若点E在直线AD上运动，连接DF，则在点E运动过程中，线段DF的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先依据等边三角形的性质求得∠DAC=30°，然后证明△BFC≌△AEC，依据全等三角形的性质可求得∠FBC=30°，依据垂线段的性质可知当DF⊥BF时，DF有最小值，最后在△BDF中，依据含30°直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图所示：

∵△ABC为等边三角形，AD是△ABC的高，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2，∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°．
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴EC=CF，BC=AC，∠FCE=∠DCA．
∴∠FCE-∠DCE=∠DCA-∠DCE，即∠BCF=∠ACE．
在△BFC和△AEC中$\left\{\begin{array}{l}{EC=CF}\\{∠BCF=∠ACE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△AEC．
∴∠FBC=∠EAC=30°．
由垂线段的性质可知：当DF⊥BF时，DF有最小值．
在Rt△BDF中，∠FBD=30°，BD=2，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×2=1．
∴DF的最小值为1．
故选：A．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、垂线段的性质，证得∠FBD=30°是解题的关键．