Question

小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中=2\×GB3 ②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．
（1）小平认为长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；
（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（

MM′

和

NN′

是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长8m，宽3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM⊥OM′，你能帮小平算出，ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？

Answer 1

分析：（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH=EH=4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过；
（2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG=

1

2

CD=4，OC=

2

CG=4

2

，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG=

1

2

CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值．

解答：解：（1）消防车不能通过该直角转弯．
理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，
∵FH=EH=4，
∴EF=4

2

，且∠GEC=45°，
∵GC=4，
∴GE=GC=4，
∴GF=4

2

-4＜3，
即GF的长度未达到车身宽度，
∴消防车不能通过该直角转弯；

（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，
∴OG=4，OM=4

2

，
∴OF=ON=OM-MN=4

2

-4，
∴FG=OG-OF=

1

2

×8-（4

2

-4）=8-4

2

＜3，
∴C、D在

MM′

上，
设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中，
OG=x+3，OC=x+4，CG=4，
由勾股定理得，OG²+CG²=OC²，
即（x+3）²+4²=（x+4）²，
解得x=4.5．
答：ON至少为4.5米．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，读懂题目信息，把实际问题转化为数学问题并构造出等腰直角三角形是解题的关键．