Question

如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．
（1）当∠BAD=75°时，求的长；
（2）求证：BC∥AD∥FE；
（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题要靠辅助线的帮助．连接OB、OC，证明∠COD=∠AOB即可．
（2）连接BD，由（1）得BC∥AD，EF∥AD推出BC∥AD∥FE．
（3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）得出四边形ABCD为等腰梯形，证明△BAM∽△DAB．得出AM、BC、EF的关系然后可求出L的最大值．
解答：（1）解：连接OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，
∴∠BOC=120°，（2分）
故的长为．（3分）

（2）证明：连接BD，∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，（5分）
同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．（6分）

（3）解：过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）
∵AD为直径，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB，∴AM：AB=AB：AD，
∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-，（8分）
∴L=4x+2（2r-）=-x²+4x+4r=-（x-r）²+6r，其中0＜x＜，（9分）
∴当x=r时，L取得最大值6r．（10分）
点评：本题考查的是相似三角形的性质，弧长的计算以及二次函数的综合运用，难度较大．