Question

【题目】已知x＝﹣m和x＝m﹣2时，多项式ax2+bx+4a+1的值都相等，且m≠1，若当1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用x=-m和x=m-2时，ax2+bx+4a+1的值相等求出a、b的关系．在1＜x＜2范围内ax2+bx+4a+1的值在为3可等价于函数y=ax2+2ax+4a-2与x轴交点在1＜x＜2范围内，利用二次函数图象与性质看出x=1与x=2时，对应函数值的正负性，进而列出不等式求a的范围．

∵x＝﹣m和x＝m﹣2时，ax2+bx+4a+1的值相等

∴a（﹣m）2+b（﹣m）+4a+1＝a（m﹣2）2+b（m﹣2）+4a+1

整理得：（4a﹣2b）（m﹣1）＝0

∵m≠1

∴4a﹣2b＝0，即b＝2a

∵当1＜x＜2时，存在x使得ax2+bx+4a+1＝3

∴a≠0

整理得：ax2+2ax+4a﹣2＝0

令y＝ax2+2ax+4a﹣2＝a（x+1）2+3a﹣2

即抛物线y＝a（x+1）2+3a﹣2与x轴的交点在1＜x＜2的范围内

①当a＞0，如图1，在对称轴直线x＝﹣1右侧y随x增大而增大

∴x＝1时，y＝a+2a+4a﹣2＜0，解得：a＜

x＝2时，y＝4a+4a+4a﹣2＞0，解得：a＞

∴＜a＜

②当a＜0，如图2，在对称轴直线x＝﹣1右侧y随x增大而减小

∴x＝1时，y＝a+2a+4a﹣2＞0，解得：a＞

x＝2时，y＝4a+4a+4a﹣2＜0，解得：a＜

∴不等式组无解

故答案为：＜a＜．