Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$，则线段CE的最大值为6.4．

Answer 1

分析 作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16-x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{8}{5}$x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．

解答 解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴cosB=cosα=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=$\frac{4}{5}$×10=8，
∴BC=2BG=16，
设BD=x，则CD=16-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{10}{16-x}$=$\frac{x}{CE}$，
∴CE=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{8}{5}$x
=-$\frac{1}{10}$（x-8）²+6.4，
当x=8时，CE最大，最大值为6.4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的性质．