分析 探究一：在等腰直角△ABC中，由∠C=45°∠BAC=90°，点D为AB上的中点，得到∠DAE=∠C=45°AD=DC，因为AD⊥BC所以∠ADF+∠FDC=90°由∠EDF=90°得到∠ADF+∠ADE=90°，∠FDC=∠ADE，得到△AED≌△CDF；
探究二：如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和等于AC；又易证得△DMN为等腰直角三角形，所以MN的长度与DN的长度有关，当DN⊥AC时，DN最短，此时MN最短．由△AMN、△DMN为等腰直角三角形可求出AC、MN的值．
解答 探究一：证明：∵在等腰直角△ABC中，
∴∠C=45°，∠BAC=90°，
又∵点D为AB上的中点，
∴∠DAE=∠C=45°，AD=DC，AD⊥BC，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠FDC=∠ADE，
在△AED与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\\{∠FDC=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CDF；
探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°，
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC，
∵在△AMD与△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠C}\\{AD=CD}\\{∠MDA=∠NDC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN．
∴AM+AN=AC．
则△AMN的周长等于MN+AC．所以当MN取最小值时，△AMN的周长存在最小值．
由DM=DN，∠EDF=90°可知△DMN是等腰直角三角形，所以MN=$\sqrt{2}$DN．
当DN⊥AC时，DN取得最小值，则MN取得最小值．
在等腰直角△ABC中，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC．
在等腰直角△ADC中，当DN⊥AC时，DN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$BC．此时MN=$\sqrt{2}$DN=$\frac{1}{2}$BC．
所以△AMN的周长最小值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题是几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的证明．难点在于探究二，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点．
名师伴你成长课时同步学练测系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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