Question

阅读下列材料并完成填空：
你能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整数），然后从分析n=1，n=2，n=3，_…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列①~⑦各组两个数的大小．（在横线上填“>”、“=”或“<”）
①1²_______2¹；②2³_______3²；
③3⁴_______4³；④4⁵_______5⁴；
 ⑤5⁶_______6⁵；⑥6⁷_______7⁶； 
⑦7⁸_______8⁷；_…   
（2）从上面各小题的结果经过归纳，可以猜出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系为_________．（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2010²⁰¹¹________ 2011²⁰¹⁰（在横线上填“>”、“=”或“<”）

Answer 1

解：（1）经计算，得：
①1²<2¹；②2³< 3²；③3⁴>4³；④4⁵>5⁴；⑤5⁶>6⁵；⑥6⁷>7⁶；⑦7⁸>8⁷；
（2）于是可归纳为：
当1≤n≤2时，nⁿ⁺¹<（n+1）ⁿ；
当n≥3时，nⁿ⁺¹>（n+1）ⁿ；
（3）>．