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(2005•成都)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=6,AE=,求BD和BC的长.

【答案】分析:(1)要证DE是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠DCO=90°即可.
(2)已知两边长,求其它边的长,可以来三角形相似,对应边成比例来求.
解答:(1)证明:连接OC;
∵AC平分∠EAB,
∴∠EAC=∠BAC;
又在圆中OA=OC,
∴∠AC0=∠BAC,
∴∠EAC=∠ACO,
∴OC∥AE(内错角相等,两直线平行);
则由AE⊥DC知OC⊥DC,
即DC是⊙O的切线.

(2)解:∵∠D=∠D,∠E=∠OCD=90°,
∴△DCO∽△DEA,
=
=
=
∴BD=2;
∵Rt△EAC∽Rt△CAB,


∴AC2=
由勾股定理得:
BC=
点评:本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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