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如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线精英家教网段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤
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时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
分析:(1)本题的关键是求出A、B、C三点的坐标.根据抛物线对称轴的解析式和B点坐标可得出A点的坐标,也就可得出OA的长,根据OC=2OA,可求出C点的坐标,已知了A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)本题要先求出M、N两点的坐标,进而求出MN的长,由于要求的是平行四边形的面积,因此只需知道MN的长和P点与M点纵坐标差的绝对值,然后根据平行四边形的面积求法即可得出S,y的函数关系式;
(3)先将(2)得出的函数关系式中的y值用x表示出来,然后根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值.
解答:解:(1)∵抛物线的对称轴x=1,B(-2,0)
∴A(4,0),OA=4
∴OC=2OA=8,即C点坐标为(0,-8)
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)
由于抛物线过C点,
则有a(0+2)(0-4)=-8,
即a=1
因此抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8;

(2)当y=-5时,x2-2x-8=-5,
解得x=3,x=-1
∴M、N的坐标分别为(3,-5),(-1,-5)
∴MN=4
∴S=4|y+5|;

(3)由于0<x≤
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3
,此时y<0,且P与M、N不重合,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x<3时,
S=4(-5-y)=4(-5-x2+2x+8)=4(-x2+2x-1+4)=-4(x-1)2+16,
Smax=16;
②当3<x≤
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3
时,
S=4(5+y)=4(x2-2x-3)=4(x-1)2-16,
由于抛物线开口向上,且对称轴为x=-1,
因此当x=
10
3
时,Smax=
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9

因此存在平行四边形的最大值,且最大值为16.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力.要注意(3)题要根据y和M点纵坐标的大小关系来分情况进行求解.不要漏解.
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(1)求该抛物线的解析式;
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