Question

一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=8²，64就是一个完全平方数．若a=2002²+2002²×2003²+2003²，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．

Answer 1

证明：∵a=2002²+2002²×2003²+2003²
=2002²（1+2003²）+2003²
=2002²（1+2003²-2×2003+2×2003）+2003²
=2002²（2003-1）²+2×2003×2002²+2003²
=2002⁴+2×2003×2002²+2003²
=（2003+2002²）²．
∴a是一个完全平方数，且它的平方根是±（2003+2002²）．
分析：运用提取公因式法和完全平方公式，灵活把a写成一个自然数的平方即可．
点评：此题考查了提公因式法和完全平方公式在因式分解中的运用．