Question

14．阅读材料：高中教科书有关于三角函数如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ…①
tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$…②
tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$…③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
如：tan105°=tan（45°+60°）=$\frac{tan45°+tan60°}{1-tan45°•tan60°}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{1-1•\sqrt{3}}$=$\frac{（1+\sqrt{3}）（1+\sqrt{3}）}{（1-\sqrt{3}）（1+\sqrt{3}）}$=-（2+$\sqrt{3}$）
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：

（1）计算：sin15°；
（2）济宁铁塔是济宁市标志性建筑物之一，始建于公元1105年，是我国现存明代之前最高的铁塔（图1），小明想用所学知识来测量该塔的高度，如图2，小明站在距离塔底A处水平距离为5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小明的眼睛离地面的垂直距离DC为1.5米，请帮助小明求出铁塔的高度．（精确0.1米，参考数据$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{2}$=1.4）

Answer 1

分析 （1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．

解答 解：（1）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；                                                  

（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=5.7米，
∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．
∵tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2+$\sqrt{3}$，
∴BE=5.7（2+$\sqrt{3}$）=5.7（2+1.7）=21.09
∴AB=AE+BE=1.5+21.09≈22.6（米）．
答：铁塔的高度约为22.6米．

点评 本题考查了：
（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．
（2）解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．