Question

10．如图，等边△ABC中，D为AC边上一点，以BD为斜边作Rt△BED使∠BED=90°，∠BDE=30°，连接CE并延长与射线AB交于点F．
（1）求证：AD=BF；
（2）若∠F=45°，BF=3，求△DBC的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，取BD的中点G，连接AG．先证明△ABG≌△CBE，再证明△AGD≌△FEB即可．
（2）如图2中，作FG∥BC交AC的延长线于G．作FM⊥AC于M交BC于N，连接DF．先证明△AFD≌△GFC，推出FD=FC，由FM⊥DC，推出DM=CM，设DM=MC=x，则AM=x+3，AF=2x+6，FM=$\sqrt{3}$（x+3），想办法列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，取BD的中点G，连接AG．

∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴∠DBE=60°，BE=$\frac{1}{2}$BD=BG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠CBE}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠CBE，∠AGB=∠BEC，
∴∠AGD=∠BEF，
∵∠ABC=∠F+∠BCE=60°，∠BAC=∠BAG+∠GAD=60°，
∴∠F=∠GAD，
在△AGD和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠F}\\{DG=BE}\\{∠AGD=∠BEF}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△FEB，
∴AD=BF．

（2）解：如图2中，作FG∥BC交AC的延长线于G．作FM⊥AC于M交BC于N，连接DF．

∵∠ABC=∠AFG=60°，∠ACB=∠G=60°，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF=FG=AG，∵AB=AC，∠A=∠G=60°，
∴BF=CG=AD，
∴△AFD≌△GFC，
∴FD=FC，∵FM⊥DC，
∴DM=CM，设DM=MC=x，则AM=x+3，AF=2x+6，FM=$\sqrt{3}$（x+3），
∵∠AFC=45°，
∴∠CFG=∠HCF=∠CFM=15°，
∴CN=FN，∠CNM=30°，
∴CN=FN=2x，MN=$\sqrt{3}$x，
∴FM=2x+$\sqrt{3}$x，
∴2x+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$（x+3），
∴x=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=AC=3+3$\sqrt{3}$，
∴等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3+3$\sqrt{3}$），
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3+3$\sqrt{3}$）=$\frac{27}{4}$（1+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30角度性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．