Question

17．如图，已知E、F分别为平行四边形ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：
（1）EM=FN；   
（2）EF与MN互相平分．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠EAM=∠FCN，AE=CF，由AAS证明△AEM≌△CFN，得出对应边相等即可；
（2）连接EN、FM，求出EM=FN，EM∥FN，得出平行四边形EMFN，根据平行四边形的性质得出即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAM=∠FCN，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，
在△AEM和△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠∠FCN}&{\;}\\{∠AME=∠CNF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△CFN（AAS），
∴EM=FN；
（2）连接EN、FM，如图所示：
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，
∴EM∥FN，
又∵由（1）得EM=FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EF与MN互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键解．