【题目】在直角坐标系中,正方形OABC的边长为8,连结OB,P为OB的中点.
(1)直接写出点B的坐标B( , )
(2)点D从B点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段BC上向终点C运动,连结PD,作PD⊥PE,交OC于点E,连结DE.设点D的运动时间为秒.
①点D在运动过程中,∠PED的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由如果不变,求出∠PED的度数
②连结PC,当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1:2时,求的值.
【答案】(1)8,8;(2)①∠PED的大小不变,∠PED=45°;②t的值为:秒或秒.
【解析】
(1)根据正方形的边长为8和正方形的性质写出点B的坐标;
(2)①如图1,作辅助线,证明四边形PMCN是正方形,再证明△DPN≌△EPM(ASA),可得△DPE是等腰直角三角形,可得结论;
②分两种情况:当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1:2时,即G是ED的三等分点,根据面积法可知:EC与CD的比为1:2或2:1,列方程可得结论.
解:(1)∵正方形OABC的边长为8,
∴B(8,8);
故答案为:8,8;
(2)①∠PED的大小不变;理由如下:
作PM⊥OC于M,PN⊥CB于N,如图1所示:
∵四边形OABC是正方形,
∴OC⊥BC,
∴∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°,
∴四边形PMCN是矩形,
∵P是OB的中点,
∴N、M分别是BC和OC的中点,
∴MC=NC,
∴矩形PMCN是正方形,
∴PM=PN,∠MPN=90°,
∵∠DPE=90°,
∴∠DPN=∠EPM,
∵∠PND=∠PME=90°,
∴△DPN≌△EPM(ASA),
∴PD=PE,
∴△DPE是等腰直角三角形,
∴∠PED=45°;
②如图2,作PM⊥OC于M,PN⊥CB于N,
若PC将△PDE的面积分成1:2的两部分,
设PC交DE于点G,则点G为DE的三等分点;
当点D到达中点之前时,如图2所示,CD=8-t,
由△DPN≌△EPM得:ME=DN=4-t,
∴EC=CM-ME=4-(4-t)=t,
∵点G为EF的三等分点,
∴或
∵CP平分∠OCB,
∴或2,
即CD=2CE或CE=2CD,
∴8-t=2t或t=2(8-t),
t=或(舍);
当点D越过中点N之后,如图3所示,CD=8-t,
由△DPN≌△EPM得:CD=8-t,DN=t-4
∴EC=CM+ME=4+(t-4)=t,
∵点G为EF的三等分点,
∴或
∵CP平分∠OCB,
∴或2,
即CD=2CE或CE=2CD,
∴8-t=2t或t=2(8-t),
t=(舍)或;
综上所述,当PC将△PED分成的两部分的面积之比为1:2时,t的值为:秒或秒.
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【题目】为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋、投放,其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料、废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,乙投放的这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
(2)请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
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【题目】已知点C是线段AB的中点,点D是线段BC上一点,下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是( )
A.CD=DBB.BD=ADC.2AD=3BCD.3AD=4BC
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【题目】如图,点P1是线段AB上一点,AP1=2BP1;点P2是线段P1B上一点,P1P2=2BP2:点P3是线段P2B上一点,P2P3=2BP3 , …请借助所给的图形,计算 的结果为________(n为正整数,用含n的代数式表示)
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【题目】如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E.
(1)证明:四边形 ACDE 是平行四边形;(2)若 AC=24,BD=18,求△ADE 的周长.
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【题目】如图,在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC,某同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为45°,CD⊥AB于点E,E、B、A在一条直线上.信号塔CD的高度是多少?
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【题目】学校准备购进一批篮球和足球,买1个篮球和2个足球共需170元,买2个篮球和1个足球共需190元.
(1)求一个篮球和一个足球的售价各是多少元?
(2)学校欲购进篮球和足球共100个,且足球数量不多于篮球数量的2倍,求出最多购买足球多少个?
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