Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DE⊥AB于E，AC=AE，下列结论：①CD=DE，②AD平分∠BAC，③BE=DE，④AC=BD+DE，其中正确的结论个数为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由AC=AE，AD=AD利用HL即可证出Rt△ACD≌Rt△AED，由此可得出CD=ED；②根据Rt△ACD≌Rt△AED可得出∠CAD=∠EAD，从而得出AD平分∠BAC；③由∠C=90°，AC=BC可得出△ABC为等腰直角三角形，进而得出∠B=45°，再结合DE⊥AB即可得出△BDE为等腰直角三角形，由此即可得出BE=DE；④根据AC=BC，CD=ED，再结合BC=BD+DC即可得出AC=BD+DE．由此即可得出四个结论全部正确．

解答 解：①在Rt△ACD和Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD=ED，正确；
②∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，正确；
③∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，正确；
④AC=BC=BD+DC=BD+DE，正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是逐一分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系证出两三角形全等是关键．