Question

如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）．
（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；
（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留π）；
（3）直接写出抛物线y=x²左右平移后，经过点A的函数关系式；
（4）若抛物线y=x²可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x²”改为“抛物线y=mx²”，试确定m的值，使得抛物线y=mx²经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点．

Answer 1

分析：（1）易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8，过A作AE⊥BC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A的横坐标小2；
（2）绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4，母线长为5的圆锥的侧面积和一个半径长为4，母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；
（3）设新函数解析式为y=（x-h）²，把（-4，1）代入即可求解；
（4）可把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x²上；进而设函数的解析式为y=mx²，A，B中的2点代入即可求解．

解答：解：（1）A（-4，1）；C（-9，5）；D（-6，1）；

（2）形成的几何体的表面积为：2π×4×5+2π×4×2=56π；

（3）设所求的函数解析式为y=（x-h）²，
∴（-4-h）²=1，
h=-5或-3，
∴y=（x+5）²，y=（x+3）²；

（4）把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，点A的横坐标为1，纵坐标为1，那么点B的坐标为（4，5），不在y=x²上，所以无论如何平移，都不能使得A，B，C，D四点都在抛物线上；
设y=mx²，点A（1，a），点B（4，a+4），
∴m=a，16m=a+4，
解得m=

4

15

，
∴y=

4

15

x²．

点评：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；抛物线的平移，二次项的系数不变，只看顶点的平移即可；抛物线经过各点，那么各点的坐标应适合这个函数解析式．