Question

8．已知以（0，4）为圆心的⊙M与直线l：y=-$\sqrt{3}$x相切，从相切处开始，⊙M以每秒1个单位的速度沿y轴某一方向匀速运动．
（1）⊙M的半径是2．
（2）若⊙M在运动过程中截直线l所得的弦长为$\frac{12}{5}$，求⊙M的运动时间．
（3）若直线l同时以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度沿x轴正方向运动，求⊙M与直线l再次相切时圆心的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设⊙M与直线y=-$\sqrt{3}$x相切于点C，设C（m，-$\sqrt{3}$m），作CH⊥y轴于H．首先证明∠COM=30°，Rt△COM中解直角三角形即可．
（2）如图2中，设⊙M与直线y=-$\sqrt{3}$x交于点A、B．作MC⊥AB于C，连接BM．由CM⊥AB，推出AC=CB=$\frac{6}{5}$，在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{B{M}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，在Rt△COM中，由∠COM=30°，OM=2CM=$\frac{16}{5}$，推出点M的运动距离=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，推出t=$\frac{4}{5}$s．根据对称性当M′（-$\frac{16}{5}$，0）时，也满足条件．
（3）如图3中，①当⊙M向下平移时，⊙M与直线的切点为C，作ME∥直线l，作ED⊥直线l于D．则四边形MCDE是矩形，想办法列出方程即可解决问题．②当⊙M向上平移时，方法类似．

解答 解：（1）如图1中，设⊙M与直线y=-$\sqrt{3}$x相切于点C，设C（m，-$\sqrt{3}$m），作CH⊥y轴于H．

∵tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠COH=30°，
在Rt△COM中，∠MCO=90°，OM=4，
∴CM=$\frac{1}{2}$OM=2，
故答案为2．

（2）如图2中，设⊙M与直线y=-$\sqrt{3}$x交于点A、B．作MC⊥AB于C，连接BM．

∵CM⊥AB，
∴AC=CB=$\frac{6}{5}$，
在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{B{M}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△COM中，∵∠COM=30°，OM=2CM=$\frac{16}{5}$，
∴点M的运动距离=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{4}{5}$s．
根据对称性当M′（-$\frac{16}{5}$，0）时，也满足条件，
∴点M的运动距离=4+$\frac{16}{5}$=$\frac{36}{5}$，
∴t=$\frac{36}{5}$s．
综上所述，⊙M在运动过程中截直线l所得的弦长为$\frac{12}{5}$，所以⊙M的运动时间为$\frac{4}{5}$s或$\frac{36}{5}$s．

（3）如图3中，①当⊙M向下平移时，⊙M与直线的切点为C，作ME∥直线l，作ED⊥直线l于D．则四边形MCDE是矩形，

易知CM=ED=2，在Rt△ADE中，AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△OME中，OM=4-t，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-t），
∵OA=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-t）+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得t=2，
∴M（0，2）．
②当⊙M向上平移时，同法可得$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4+t）+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得t=4，
∴M（0，8）．
综上所述，满足条件的点M坐标为（0，2）或（0，8）．
（0，2）或（0，8）．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．