Question

将两个不同的质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数1719；由19，17也可得到一个四位数1917．已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数．

Answer 1

分析：首先设这两个质数分别是x，y，则将它们接起来得到的一个四位数是100x+y，然后根据这个四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，可以设100x+y=m•

x+y

2

（m为整数），即198x=（m-2）（x+y），得到x，y的范围，从而求得x，y的值，进而求解．

解答：解：设这两个质数分别是x，y，
由题意，可知100x+y=m•

x+y

2

（m为整数），即200x+2y=m（x+y），
∴198x=（m-2）（x+y）．
∵m为整数，
∴198x能被（x+y）整除，
∵（x，y）=1，
∴（x，x+y）=1．
∴198能被（x+y）整除，
而198=2×3²×11，即198=2×99=3×66=6×33=9×22=11×18，
又∵11≤x≤99，11≤y≤99，x≠y，
∴24≤x+y≤196，
∴x+y=66=13+53=19+47=23+43=29+37．
∴符合条件的四位数有8个，
它们是1353，5313，1947，4719，2343，4323，2937，3729．

点评：本题主要考查了整数的整除性问题，得到198能被（x+y）整除，进而得到x，y的取值范围是解题的关键．