Question

12．如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，且∠A=∠PDB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）如图2，点M是$\widehat{AB}$ 的中点，连接DM，交AB于点N，若tan∠A=$\frac{1}{4}$，求$\frac{DN}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD；由AB是⊙O的直径，得到ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圆上，于是得到结论；
（2）连结OM，过D作DF⊥AB于F；由点M是$\widehat{AB}$的中点，得到OM⊥AB；设BD=x，根据已知条件得到AD=4x；由勾股定理得到AB=$\sqrt{（4x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{17}$x；根据三角形的面积公式解方程得到DF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连结OD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；
又∵OA=OB=OD，
∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；
又∵∠A=∠PDB，
∴∠PDB+∠BD0=90°，
即∠PDO=90°，且D在圆上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）连结OM，过D作DF⊥AB于F；
∵点M是$\widehat{AB}$的中点，
∴OM⊥AB；设BD=x，
∵tan∠A=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∴AD=4x；由勾股定理得：
AB=$\sqrt{（4x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{17}$x；由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DF，
∴DF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$x，
∵OM∥DF，
∴△OMN∽△FDN，
∴$\frac{DN}{MN}$=$\frac{DF}{OM}$=$\frac{8}{17}$．

点评 该题考查了切线的判定、等边三角形的判定及其性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是牢固掌握切线的判定及其性质、勾股定理等几何知识点．