Question

【题目】如图，点C为y轴正半轴上一点，点P（2，2）在直线y＝x上，PD＝PC，且PD⊥PC，过点D作直线AB⊥x轴于B，直线AB与直线y＝x交于点A，直线CD与直线y＝x交于点Q，当∠CPA＝∠PDB时，则点Q的坐标是_____．

Answer 1

【答案】（2+2，2+2）．

【解析】

过P点作x轴的平行线交y轴于M，交AB于N，如图，设C（0，t），OP＝2，OM＝BN＝PM＝2，CM＝t﹣2，利用旋转性质得PC＝PD，∠CPD＝90°，再证明△PCM≌△DPN得到PN＝CM＝t﹣2，DN＝PM＝2，于是得到D（t，4），接着利用△OPC≌△ADP得到AD＝OP＝2，则A（t，4+2），于是利用y＝x图象上点的坐标特征得到t＝4+2，所以C（0，4+2），D（4+2，4），接下来利用待定系数求出直线CD的解析式为y＝（1﹣）x+4+2，则通过解方程组可得Q点坐标．

解：过P点作x轴的平行线交y轴于M，交AB于N，如图，设C（0，t），

∴P（2，2），

∴OP＝2，OM＝BN＝PM＝2，CM＝t﹣2，

∵PC=PD,PC⊥PD

∴PC＝PD，∠CPD＝90°，

∴∠CPM+∠DPN＝90°，

而∠CPM+∠PCM＝90°，

∴∠PCM＝∠DPN，

在△PCM和△DPN中，

∴△PCM≌△DPN（AAS），

∴PN＝CM＝t﹣2，DN＝PM＝2，

∴MN＝t﹣2+2＝t，DB＝2+2＝4，

∴D（t，4），

∵∠COP＝∠OAB＝45°，∠CPQ＝∠PDB，

∴∠CPO＝∠PDA，

∴△OPC≌△ADP（AAS），

∴AD＝OP＝2，

∴A（t，4+2），

把A（t，4+2）代入y＝x得t＝4+2，

∴C（0，4+2），D（4+2，4），

设直线CD的解析式为y＝kx+b，

把C（0，4+2），D（4+2，4）代入得，解得，

∴直线CD的解析式为y＝（1﹣）x+4+2，

解方程组得，

∴Q（2+2，2+2）．

故答案为（2+2，2+2）．