Question

（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；
（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

Answer 1

分析：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．
（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；
（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．

解答：解：（1）这个公式为（a+b）²=a²+2ab+b²；
证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，
大正方形的面积=（a+b）²，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，
小正方形的面积=a²，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a²=（a+b）²=a²+2ab+b²．

（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；
由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°．

（3）梯形ABDE的面积为

1

2

（AB+ED）•BD=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a+b）²；
另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
所以，

1

2

（a+b）²=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
即a²+b²=c²．

点评：面积法证明代数恒等式是常用的代数式变形，采用了数形结合的方式，直观易懂．