Question

如图，P，Q，R分别是△ABC三边上的点，四边形PQCR为平行四边形，BR，AQ交于M，PQ，BR交于N，若S_△AMP=25，S_△PBN=16，则S_△CQR=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：计算题

分析：设BQ=a，CQ=b，S_△AMP=S₁，S_△PBN=S₂，S_△ABC=S，根据平行四边形的性质得PM∥BQ，PQ∥AC，根据相似比和平行线分线段成比例定理得到

PA

AB

=

PM

BQ

=

PM

a

，

PA

AB

=

CQ

BC

=

b

a+b

，易得PM=

ab

a+b

，再根据三角形的面积公式得到

S1

S

=

1 2 PA•PM•sin∠APM

1 2 BA•BC•sin∠ABC

=

ab2

(a+b)3

，同理可得

S2

S

=

a2b

(a+b)3

，然后计算

S3

S

=

1 2 RC•CQ•sin∠C

1 2 CB•CA•sin∠C

，根据平行四边形的性质得PR=CQ，CR=PQ，于是得到

S3

S

=

PQ•b

(a+b)•CA

，然后利用△BPQ∽△BAC得到

PQ

CA

=

BQ

BC

=

a

a+b

，所以

S3

S

=

b

a+b

•

a

a+b

=

ab

(a+b)2

，于是易得S₃=S₁+S₂=41．

解答：解：设BQ=a，CQ=b，S_△AMP=S₁，S_△PBN=S₂，S_△ABC=S，
∵四边形PQCR为平行四边形，
∴PM∥BQ，PQ∥AC，
∴

PA

AB

=

PM

BQ

=

PM

a

，

PA

AB

=

CQ

BC

=

b

a+b

，
∴

PM

a

=

b

a+b

，即PM=

ab

a+b

，
∴

S1

S

=

1 2 PA•PM•sin∠APM

1 2 BA•BC•sin∠ABC

，
∵PM∥BQ，
∴∠APM=∠ABC，
∴

S1

S

=

b

a+b

•

ab

a+b

•

1

a+b

=

ab2

(a+b)3

，
同理可得

S2

S

=

a2b

(a+b)3

，
∵

S3

S

=

1 2 RC•CQ•sin∠C

1 2 CB•CA•sin∠C

，
∵四边形PQCR为平行四边形，
∴PR=CQ，CR=PQ，
∴

S3

S

=

PQ•b

(a+b)•CA

，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴

PQ

CA

=

BQ

BC

=

a

a+b

，
∴

S3

S

=

b

a+b

•

a

a+b

=

ab

(a+b)2

，
∴

S1

S

+

S2

S

=

S1

S

=

ab2

(a+b)3

+

a2b

(a+b)3

=

ab(a+b)

(a+b)3

=

ab

(a+b)2

=

S3

S

，
∴S₃=S₁+S₂=25+16=41．
故答案为41．

点评：本题考查了面积及等积变换：掌握三角形面积公式和平行线四边形的性质，熟练运用平行线分线段成比例定理和相似比进行线段的计算．