Question

4．在△ABC中，D为BC边上一点．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．
①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB=4$\sqrt{2}$，BC=6，∠B=45°，则CD的取值范围是6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5．

Answer 1

分析 （1）作∠CAB的角平分线即可；
（2）①过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于E，作∠CEB的角平分线即可；
②在如图②中，求出CD的最小值，在如图③当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，求出CD可得CD的最大值．

解答 解：（1）点D如图所示．（作∠CAB的角平分线即可）


（2）①点D如图所示．（过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于E，作∠CEB的角平分线即可）


②如图②中，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，DB=$\sqrt{2}$x，
∵BC=6，
∴x+$\sqrt{2}$x=6，
∴x=6$\sqrt{2}$-6，
如图③中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，

在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x-2，DE=x，
∴x²=4²+（x-2）²，
∴x=5，
综上可知，CD的最大值为5，最小值为6$\sqrt{2}$-6，
∴6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5，
故答案为6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5．

点评 本题考查三角形综合题、基本作图、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置确定最值问题，属于中考压轴题．