Question

已知：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一个根为x=2，且二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为________．

Answer 1

（2，-3）
分析：由题意方程ax²+bx+c=-3的一个根为x=2，代入得到一个式子，然后再根据二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，得-=2，从而解出a，b，c的值，得到抛物线的顶点．
解答：解法一：∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一个根为x=2，
∴4a+2b+c=-3，
∴4a+2b+c+3=0，
∵二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，
∴顶点的横坐标为2，
∴将函数y=ax²+bx+c向上平移三个单位，得
函数y=ax²+bx+c+3，此时∵4a+2b+c+3=0，
∴函数y=ax²+bx+c+3与x轴相切，
此时顶点坐标为（2，0），
再将函数y=ax²+bx+c+3向下平移3个单位，得到函数y=ax²+bx+c，
∴函数y=ax²+bx+c+3的顶点也向下平移3个单位，
得到函数y=ax²+bx+c，的顶点为（2，-3）．
故答案为（2，-3）．
解法二：∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一个根为x=2，
∴4a+2b+c=-3，
∵二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，
∴顶点的横坐标为2，
将x=2代入二次函数解析式得：4a+2b+c=-3，
∴函数的顶点坐标为：（2，-3）．
点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，另外还考查的函数的对称轴及顶点坐标，函数平移的性质，知识点多．