Question

【题目】如图，中，，．

（1）请用尺规作图的方法在边上确定点，使得平分；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）详情见解析.

【解析】

（1）以B点为圆心，任意长为半径画弧交于AB与BC，然后再以交点为圆心进一步画弧找出P点即可；

（2）过P点作PD⊥BC，先利用直角三角形性质得出∠C=45°，从而进一步得出PD=CD，然后通过证明△ABP≌△DBP得出AB=BD，最后利用等量代换进一步证明即可.

（1）如图所示，P点即为所求：

（2）如图，过P点作PD⊥BC，即：∠PDC=90°，

由（1）可得，BP为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠DBP，

∵，∠PDC=90°，BP为∠ABC的角平分线，

∴PA=PD，

在中，

∵，，

∴∠C=45°，

∴∠DPC=45°，

∴△PDC为等腰三角形，

∴PD=DC，

∴PD=CD=AP，

在△ABP与△DBP中，

∵∠ABP=∠DBP，∠PDC，PA=PD，

∴△ABP≌△DBP，

∴AB=BD，

∴BD+DC=AB+AP，

即.