Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．根据以上信息，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设四边形PQCB的面积为y（cm²），直接写出y与t之间的函数关系式；
（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理求出AB，再根据题意知：AP=5-t，AQ=2t，当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t，当PQ⊥BC，则△APQ∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t．
（2）y=t²-3t+6．
（3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形，有3种情况，①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点，利用相似三角形对应边成比例即可求得；
②当沿PQ翻折时利用2t=5-t可解得t；
③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，利用相似三角形对应边成比例即可求得．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB==5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，
∴=，
∴=，
t=，＜2，
当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，＜2，
∴当t=或t=时，
以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）过点P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴，
即，
解得：PD=3-t，
∴S_{四边形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ=AC•BC-AQ•PD=×4×3-×2t×（3-t）=t²-3t+6，
∴y=t²-3t+6；

（3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形，
①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴=，
即=，解得t=，＜2，
②当沿PQ翻折时，AQ=AP，2t=5-t，解得t=＜2
③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，
∴Rt△AHP∽Rt△ACB，
∴即，
解得：＞2（不合题意应舍去）
综上所述，当时，所形成的四边形为菱形．
点评：此题涉及到的知识点较多，有勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，翻转变换等，综合性较强，又涉及上动点问题，给此题又增加了一定的难度，因此此题属于难题．