Question

已知抛物线y=x2+kx-

3

4

k2（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别是M、N．
①M、N两点之间的距离为MN=

 

．（用含k的式子表示）
②若M、N两点到原点的距离分别为OM、ON，且

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由判别式△＞0即可证明；
（2）①由y=x2+kx-

3

4

k2=0，解得：x₁=-

3k

2

，x₂=

k

2

，即可得出答案；
②由

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，可得ON＜OM，所以ON=

K

2

，OM=

3k

2

，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；

（2）①y=x2+kx-

3

4

k2=0，
解得：x₁=-

3k

2

，x₂=

k

2

，
∴MN=

k

2

-（-

3k

2

）=2k；

②∵

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，
∴ON＜OM，
∴ON=

K

2

，OM=

3k

2

，
∴

1

k 2

-

1

3 2 k

=

2

3

，
解得k=2．

点评：本题考查了二次函数综合题，难度一般，关键是掌握用判别式△＞0证明抛物线与x轴总有两个交点．