【题目】操作探究
如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时,= ;②当α=180°时,= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时,求线段BD的长.
【答案】(1)①,②(2)当0°≤α<360°时,的大小没有变化(3)BD的长为或
【解析】
(1)①当α=0°时,则点D、E分别是边BC、AC的中点,得DE∥BA,进而即可得到答案;②当α=180°时,则点D、E分别是边BC、AC的延长线上,且DE∥BA,由,即可得到答案;
(2)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可得到结论;
(3)分两种情况讨论:①当点E在AB的延长线上时, ②当点E在线段AB上时, 结合=,分别求出答案,即可.
(1)①∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,
∴,
当α=0°时,则点D、E分别是边BC、AC的中点,
∴DE∥BA,
∴,即:,
故答案是:;
②当α=180°时,则点D、E分别是边BC、AC的延长线上,且DE∥BA,
∴=,
∴ .
故答案是:;
(2)如图2,当0°≤α<360°时,的大小没有变化,理由如下:
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
∵点D、E分别是边BC、AC的中点,即:CD=1,CE=,
∴==,
∴△ECA∽△DCB,
∴==;
(3)①当点E在AB的延长线上时,如图3,
在Rt△BCE中,CE=,BC=2,
∴BE===1,
∴AE=AB+BE=5,
∵=,
∴BD==.
②当点E在线段AB上时,如图4,
∵BC=2,CE=,∠ABC=90°,
∴BE=1,AE=4﹣1=3,
∵=,
∴BD=.
综上所述,满足条件的BD的长为或.
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【题目】某超市销售一种书包,平均每天可销售100件,每件盈利30元.试营销阶段发现:该商品每件降价1元,超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价元时,日盈利为元.据此规律,解决下列问题:
(1)降价后每件商品盈利 元,超市日销售量增加 件(用含的代数式表示);
(2)在上述条件不变的情况下,求每件商品降价多少元时,超市的日盈利最大?最大为多少元?
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【题目】如图1,已知直线y=a与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C
(1)若AB=4,求a的值
(2)若抛物线上存在点D(不与A、B重合),使,求a的取值范围
(3)如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点E、F,点P是抛物线上的动点,延长PE、PF分别交直线y=-2于M、N两点,MN交y轴于Q点,求QM·QN的值。
图1 图2
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【题目】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10,……,由于这些数可以用图中所示的三角形点阵标表示,他们就将其称为三角形数,第n个三角形数可以用表示.
请根据以上材料,证明以下结论:
(1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数;
(2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数.
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【题目】新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元,销售价为2900元,平均每天能售出8台;调查发现,当销售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱应该降价多少元?若设每台冰箱降价x元,根据题意可列方程( )
A. (2900-x)(8+4×)=5000 B. (400-x)(8+4×)=5000
C. 4(2900-x)(8+)=5000 D. 4(400-x)(8+)=5000
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【题目】已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L的长.
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【题目】某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响,但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入,因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数,在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这种情况下,如果要保证每周万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少.
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