Question

3．如图，∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且OP=2cm，将∠Q沿PQ折叠，点O落在平面内点C处，使得PQ=PD．
（1）求证：△CDQ∽△OQP；
（2）求△CDQ的面积．

Answer 1

分析 （1）先由PQ=PD得到∠PQD=∠PDQ，则利用等角的补角相等得到∠PQO=∠CDQ，再利用折叠的性质得到∠POQ=∠PCQ=45°，然后根据相似三角形的判定方法可得△CDQ∽△OQP；
（2）作PH⊥PQ于H，DE⊥CQ于E，如图，设OQ=x，利用等腰直角三角形的性质得PH=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，则HQ=OH-OQ=$\sqrt{2}$-x，再利用等腰三角形的性质得QH=DH=$\sqrt{2}$-x，接着利用折叠性质得CQ=OQ=x，PC=PO=2，然后利用相似比得到$\frac{2-PQ}{x}$=$\frac{x}{2}$=$\frac{2（\sqrt{2}-x）}{PQ}$，分别表示出PQ可得$\frac{4-{x}^{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-4x}{x}$，利用因式分解的方法和公式法解方程得到x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，所以OQ=CQ=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{3}$-2，则CD=2-（2$\sqrt{3}$-2）=4-2$\sqrt{3}$，最后在Rt△CDE中求出DE后利用三角形面积公式求△CDQ的面积．

解答 （1）证明：∵PQ=PD，
∴∠PQD=∠PDQ，
∴∠PQO=∠CDQ，
∵△PQC沿PQ折叠得到△PQC，
∴∠POQ=∠PCQ=45°，
∴△CDQ∽△OQP；
（2）作PH⊥PQ于H，DE⊥CQ于E，如图，设OQ=x，
∵∠POH=45°，
∴PH=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，
∴HQ=OH-OQ=$\sqrt{2}$-x，
∵PQ=PD，PH⊥DQ，
∴QH=DH=$\sqrt{2}$-x，
∴CQ=OQ=x，PC=PO=2，
∵△CDQ∽△OQP，
∴$\frac{CD}{OQ}$=$\frac{CQ}{OP}$=$\frac{DQ}{PQ}$，即$\frac{2-PQ}{x}$=$\frac{x}{2}$=$\frac{2（\sqrt{2}-x）}{PQ}$，
∴PQ=$\frac{4-{x}^{2}}{2}$，PQ=$\frac{4\sqrt{2}-4a}{a}$，
∴$\frac{4-{x}^{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-4x}{x}$，
即x³-8x=4x-8$\sqrt{2}$，
∴x（x+2$\sqrt{2}$）（x-2$\sqrt{2}$）=4（x-2$\sqrt{2}$），
∴x²+2$\sqrt{2}$x-4=0，解得x₁=-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$（舍去），x₂=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴OQ=CQ=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，PQ=$\frac{4-（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=2-（2$\sqrt{3}$-2）=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△CDE中，∵∠DCE=45°，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴S_△CDQ=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）•（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）=3$\sqrt{3}$-5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用三角形相似的性质时，主要得到对应角相等，对应边成比例．