Question

【题目】(1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.

求证：AD·BC=AP·BP．

(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； (2)结论AD·BC=AP·BP仍成立.理由见解析；（3）t的值为2秒或10秒.

【解析】

（1）由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝6，根据勾股定理可得DE＝8，由题意可得DC＝DE＝8，则有BC＝108＝2，易证∠DPC＝∠A＝∠B，根据AD·BC=AP·BP，即可求出t的值．

（1）证明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴AD·BC=AP·BP；

(2)结论AD·BC=AP·BP仍成立

理由：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，且∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴AD·BC=AP·BP；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，.

∴AE=BE=6，

∴，

∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10-8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由(1)(2)的经验得AD·BC=AP·BP，

又∵AP=t，BP=12-t，

∴，

解得：，，

∴t的值为2秒或10秒.