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如图,已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),E(3,0),与y轴交于点B,且该精英家教网函数的最大值是4.
(1)抛物线的顶点坐标是(
 
 
);
(2)求该抛物线的解析式和B点的坐标;
(3)设抛物线顶点是D,求四边形AEDB的面积;
(4)若抛物线y=mx2+nx+p与上图中的抛物线关于x轴对称,请直接写出m的值.
分析:(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0),E(3,0),所以可求出对称轴即顶点的横坐标,又函数的最大值是4,所以可求出顶点的纵坐标是:4;
(2)设出函数的顶点式表达式为y=a(x-h)2+k,由(1)知h,k,再把A或E点的再把代入可求出a,所以函数的解析式明确了,B点的坐标即函数x=0时的函数值.
(3)把四边形AEDB的面积分割为S△AOB+S△DHE+S梯形BOHD可得问题答案.
(4)若抛物线y=mx2+nx+p和已知抛物线关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数.
解答:精英家教网解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),E(3,0),
∴抛物线的对称轴是x=
3-1
2
=1,
∴顶点的横坐标是:1,
∵函数的最大值是4.
∴顶点的纵坐标是:4,
抛物线的顶点坐标是(1,4).

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,
∵抛物线顶点坐标为(1,4),
∴y=a(x-1)2+4,
又∵抛物线过点A(-1,0),∴4a+4=0,解得a=-1.
∴y=-x2+2x+3(或y=-(x-1)2+4为所求).
当x=0时,y=3,∴B(0,3).

(3)过点D作DH⊥x轴于点H,
∵A(-1,0),B(0,3),∴OA=1,OB=3,
∴S△AOB=
1
2
×OA×OB=
3
2

又∵D(1,4),E(3,0),∴DH=4,EH=2
∴S△DHE=
1
2
×DH×HE=4;
又∵B(0,3),D(1,4),∴S梯形BOHD=
1
2
×(OB+DH)×OH=
7
2

∴S四边形AEDB=S△AOB+S梯形BOHD+S△DHE=9.

(4)m=1.
点评:本题考查了求二次函数的解析式,顶点坐标,以及特殊的点围成的图象的面积,综合性很强,难度不大.
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