Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．下列结论：
①DE=

1

2

BC；②cos∠BFE=

1

2

；③∠EDF=∠FED；④点F到△ABC三个顶点的距离相等；⑤BE+CD=BC．
其中正确的结论有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用三角形的内角和，角平分线的性质可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有条件易知F为三角形的内心，若想证明BE+CD=BC，只能给BE，CD找相等的线段代替，自然想到构造全等三角形．

解答：解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴②cos∠BFE=

1

2

，正确．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D，E，CE、BD相交于点F，
∴F为三角形的内心，
∴④点F到△ABC三边的距离相等错误．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正确．
∵△CDF≌△CFH，
∴DF=FH，
∵△FEB≌△HFB，
∴FE=FH
∵DF=FH，FE=FH，
∴DF=FE，△DEF为等腰三角形，
∴∠EDF=∠FED
故③正确．
题目现有的条件不能够证明②AB=BC；④是正确的，所以①④错误．
故选C．

点评：本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判断．特别是全等三角形的判定是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．