Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=2

2

，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与腰CD（或CD的延长线）交于点F．设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为何值时，y取得最大值，并求出该最大值；
（3）若△ABE为等腰三角形，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）由题意得∠B=∠C，再求得∠AEB=∠EFC，可得出△ABE∽△EFC，从而得出y与x的函数关系式y=

6x-x2

2 2

，又E再BC上运动可得（0≤x≤6）；
（2）根据（1）的二次函数的关系式可求y的最大值；
（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得y=2

2

②当AE=BE时BE=2代入关系式可得y=2

2

．③当AB=BE时也可求出CF的长．

解答：解：（1）由题意得∠B=∠C，∠AEB=180°-∠AEF-∠FEC=180°-45°=∠EFC．
∴△ABE∽△EFC，可得

AB

EC

=

BE

FC

=

2 2

6-X

=

x

y

，
故可得y=

6x-x2

2 2

（0≤x≤6）；

（2）由（1）得y=

-(x-3)2+9

2 2

，
∴当x=3时，y取得最大值

9

2 2

=

9 2

4

．

（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE或AB=BE
①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得y=2

2

，
②当AE=BE时BE=2，代入关系式可得y=2

2

，y的大小既是CF的长．
③当AB=BE=2

2

时，

∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=6-2

2

；
故可得：若△ABE为等腰三角形，CF的长为2

2

或6-2

2

．

点评：本题属有难度的题，关键在于观察x与y的关系怎样建立，得出x与y的关系后就简单了．