Question

【题目】在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为0 180 ，得到 ABC

（1）求当角为多少度时， CBD 是等腰三角形；

（2）如图②，连接 AA, BB ，设 ACA , BCB 的面积分别为 S1 , S2 ，求的值；

（3）如图③，设 AC 的中点为 E， AB 的中点为 P，AC=a，连接 EP，当旋转角为多少时，EP 长度最大，并求出 EP 的最大值；

Answer 1

【答案】（1）θ＝；（2）；（3） ；

【解析】

（1）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
（2）通过证明△A'CA∽△B'CB，可得；

（3）由直角三角形的性质可求，由三角形三边关系可得EC+CP≥EP，即当点P在EC的延长线上时，EP有最大值，由旋转的性质可求旋转角的度数．

解：（1）∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴∠ABC=∠A'B'C=30°，∠ACA'=∠BCB'=θ，
∵△CB'D是等腰三角形，
①当CD=B'D时，
∴∠BCB'=∠A'B'C=30°=θ
②当CB'=CD时，
∴∠CB'A'=∠CDB'=30°，
∴∠BCB'=120°=θ
③当B'C=B'D，且∠A'B'C=30°，
∴∠B'CD=∠B'DC=75°，
综上所述：当θ=30°或120°或75°时，△CB'D是等腰三角形；
（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tanABC=

∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'，

，且∠ACA'=∠BCB'，
∴△A'CA∽△B'CB，

；

（3）如图3，连接CP，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=a，
∴AB=2a，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
∴A'B=AB=2a，
∵AC的中点为E，A′B′的中点为P，
∴EC=，CP=A'B=a，
∵在△ECP中，EC+CP≥EP，
∴当点P在EC的延长线上时，EP有最大值，
∴EP最大值=EC+CP=

∵CP=A'C=A'P=a，
∴∠A'CP=60°，
当点P在EC的延长线上时，θ=∠ACA'=180°-∠A'CP=120°．