Question

【题目】如图，是的对角线，，的边，，的长是三个连续偶数，，分别是边，上的动点，且，将沿着折叠得到，连接，．若为直角三角形时，的长为_______．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

由，边，，的长是三个连续偶数，可知AB=6，AC=8，BC=10，分三种情况：①当∠PAD=90°，由平行四边形的性质得出CD=AB=6，AD=BC=10，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，得出，求出BP，由轴对称的性质即可得出结果；
②∠APD=90°，当点P与C重合时，得出该情况不成立；
③当点P与C不重合时，由A、P、C、D四点共圆可知E 、A重合，即可得到BF．

解：由，边，，的长是三个连续偶数，可知AB=6，AC=8，BC=10，

分三种情况：
①当∠PAD=90°，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC=10，AD∥BC，
∴∠APB=∠PAD=90°，

∵∠B=∠B，∠APB=∠BAC=90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP=，
∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，
∴BF=PF=BP=；

②当∠APD=90°时，点P与C重合时，如图2所示：

∵AB∥CD，
∴∠APD=∠ACD=∠BAC=90°，
∵E在AB上，

∴E和A重合，

又∵AB≠AC，
则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，
∴该情况不存在；
③当点P与C不重合时，∠APD=90°，如图3所示：

∵∠APD=∠ACD=90°，

∴A、P、C、D四点共圆，

∴∠APC+∠ADC=180°，

由平行四边形ABCD可知，∠B=∠ADC，

由沿着折叠得到可知，∠B=∠EPF，

∴∠EPF+∠APC=180°，即A、E重合，

此时应为图4，

由①中BP=可知，此图中BF=；
综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为或；
故答案为：或．