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如图,等边△ABC内接于⊙O,P是 AB 上任一点(点P不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.

(1)填空:∠APC=        度,∠BPC=        度;

(2)求证:△ACM≌△BCP;

(3)若PA=3,PB=6,求梯形PBCM的面积.


 (1)解:∠APC=60°,∠BPC=60°;                   
(2)证明:∵CM∥BP,

∴∠BPM+∠M=180°,

∠PCM=∠BPC,

∵∠BPC=∠BAC=60°,

∴∠PCM=∠BPC=60°,

∴∠M=180°-∠BPM=180°-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°,

∴∠M=∠BPC=60°,                                   

又∵A、P、B、C四点共圆,

∴∠PAC+∠PBC=180°,

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC,

∴△ACM≌△BCP;                                   

(3)解:作PH⊥CM于H,

∵△ACM≌△BCP,

∴CM=CP  AM=BP,

又∠M=60°,

∴△PCM为等边三角形,

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=3+6=9,                     

在Rt△PMH中,∠MPH=30°,

∴PH=,∴S梯形PBCM=(PB+CM)×PH= (6+9)×=


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