Question

如图，小华家的住宅楼AB与北京奥运会主体育场鸟巢隔水相望且能看到鸟巢的最高处CD，两建筑物的底部在同一水平面上，视野开阔，但不能直接到达，小华为了测量鸟巢的最大高度CD，只能利用所在住宅楼的地理位置．现在小华仅有的测量工具是皮尺和测角仪（皮尺可测量长度，测角仪可测量仰角、俯角），请你帮助小华设计一个测量鸟巢的最大高度的方案．
（1）要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示）并画出测量图形（测角仪高度忽略不计）；
（2）利用小华测量的数据（用字母表示），写出计算鸟巢最大高度CD的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题方法不惟一，只要设计合理，解答正确均可．
（2）先由AB及α的正切值求得AE的长，再由AE及β的正切值求得CE的长，则DC的长即可求出．
解答：解：（1）如图，连接AD、AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E．测量步骤为：
①测量楼顶到地面的高度AB=a（米）；
②在楼顶处测点D的俯角∠EAD=α；
③在楼顶处测点C的仰角∠EAC=β．

（2）在Rt△AED中，DE=AB=a，
∵∠ADE=90°-α∴AE=DEtan（90°-α）=atan（90°-α），
在Rt△AEC中，CE=AEtanβ=atan（90°-α）tanβ，
∴CD=DE+CE=a+atanβtan（90°-α）=a[1+tanβtan（90°-α）]．
点评：本题考查俯仰角的定义，要求学生能借助俯仰角构造直角三角形并解直角三角形．