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18.如图,A、B、C是⊙O上的三个点,并且把⊙O三等分,若AB=a,试求△ABC的面积.

分析 由题意得出$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AC}$,得出BC=AC=AB=a,得出∠B=60°,作AD⊥BC于D,则∠ADB=90°,由三角函数求出AD,△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD,即可得出结果.

解答 解:∵A、B、C是⊙O上的三个点,并且把⊙O三等分,
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AC}$,
∴BC=AC=AB=a,
∴∠B=60°,
作AD⊥BC于D,如图所示:
则∠ADB=90°,
∴AD=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2

点评 本题考查了三角形的外接圆、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握等边三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.

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